Isaac Newton
Isaac Newton

Cálculo I

Instructor: José O. Sotero Esteva
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PRONTUARIO MATE 3061




I. Nombre del Curso: Cálculo I


II. Codificación: MATE 3061


III. Pre-requisito: MATE 3018 o su equivalente


IV. Número de Créditos: 4 créditos (3 horas de conferencia y una hora de laboratorio a la semana)


VI. Justificación del Curso:


El cálculo es considerado como el primer gran logro de la matemática moderna y con su aplicación se han podido lograr descubrimientos científicos importantes en los pasados tres siglos. La ciencia y la tecnología recurren al cálculo para expresar leyes físicas en terminos matemáticos precisos y para estudiar las consecuencias de estas leyes.


Desde su desarrollo hasta el presente, el cálculo ha sido el principal lenguaje para cuantificar en la ciencia y la tecnología y provee las herramientas matemáticas que necesita un estudiante de ciencias para continuar sus conocimientos y entender los adelantos científicos. Este curso viene a ser el primero de este tipo que toman los estudiantes de bachillerato con especialidad en Física, Química, Biología y Matemáticas en el Recinto Universitario de Humacao.


Todo estudiante de ciencias y matemáticas debe tener conocimientos de los conceptos básicos del cálculo como un instrumento de aplicación necesario.



VII. Descripción General:


Este curso desarrolla los conceptos de diferenciación e integración de funciones en una variable y algunas de sus aplicaciones.



VIII. Objetivos Generales:


Al finalizar el curso de Cálculo el estudiante podrá:


1. Usar el lenguaje, el simbolismo y los modelos matemáticos adecuados para comunicar con precisión las relaciones de cambio entre variables cuantificables.


2. Analizar y resolver problemas del mundo de las ciencias y de la vida económica diaria mediante modelos matemáticos que requieren el uso de derivadas e integrales.



IX. Objetivos Específicos


1. Dada la gráfica de un función ƒ determinar el límite de ƒ en un valor co dado (límites unilaterales y límites bilaterales).


2. Evaluar límites unilaterales y bilaterales en un valor co y en el   de funciones algebraicas, funciones trigonométricas y funciones definidas por partes.


3. Determinar la existencia o no existencia de límites y calcularlos.


4. Evaluar límites de funciones haciendo uso del Teorema del Sandwich.


5. Determinar si una función es continua o no en un valor co dado o en un intervalo y justificar su contestación.


a. funciones definidas algebraicamente


b. función definida mediante gráficas únicamente


6. Explicar la relación que existe entre la definición de la derivada de una función, la gráfica de esta función y el cambio instantáneo de la función en un valor co dado.


7. Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función algebraica o trigonométrica en un punto de la curva.


8. Determinar la derivada de una función algebraica o trigonométrica dada, usando la definición de derivada.


9. Determinar la razón de cambio promedio y la razón de cambio instantáneo de una variable con respecto a otra variable.


10. Diferenciar potencias, raíces y combinaciones algebraicas de funciones y composición de funciones (regla de cadena), funciones definidas implícitamente y funciones trigonométricas.


11. Explicar la relación existente entre continuidad y diferenciabilidad.


12. Hallar aproximaciones lineales del valor de una función en un punto dado.


13. Aproximar los ceros de una función diferenciable usando el método de Newton.


14. Enunciar el Teorema del Valor Intermedio y el Teorema de Máximos y Mínimos de funciones continuas en un intervalo cerrado.


15. Resolver problemas de tasas de cambio instantáneo de variables relacionada mediante una ecuación.


16. Enunciar el Teorema Rolle y el Teorema del Valor Medio.


17. Resolver problemas de optimización mediante el uso de derivadas.


18. Bosquejar gráficas de funciones polinómicas, racionales y trigonométricas especificando asíntotas, valores máximos, valores mínimos, concavidad e interceptos en los ejes.


19. Determinar la antiderivada general de funciones algebraicas y trigonométricas sencillas.


20. Determinar la función particular cuando se conoce su derivada y un punto de ella.


21. Aproximar el área de una región en el plano mediante el uso de rectángulos.


22. Usar fórmulas de suma para determinar un integral definido.


23. Enunciar el Teorema Fundamental del Cálculo y usarlo para evaluar integrales definidas.


24. Determinar integrales indefinidas usando la técnica de sustitución.


25. Aproximar el valor de un integral mediante sumas de Riemann, Regla del Trapecio y Regla de Simpson.


26. Determinar áreas de regiones acotadas en el plano cartesiano haciendo uso de integrales.


27. Definir rigurosamente la función logarítmica y la función exponencial.


28. Diferenciar e integrar funciones logarítmicas y funciones exponenciales.


29. Usar la función logarítmica para obtener derivadas de funciones.


30. Resolver problemas de crecimiento o decrecimiento exponencial.



X. Criterios de Evaluación:


1. La nota final se computará en base a un mínimo de 3 exámenes parciales y un examen final. Todos estos exámenes tendrán el mismo peso porcentual.


2. El conjunto de pruebas cortas impartidas durante la sesión de práctica tendrá un peso no mayor al de un exámen parcial.


3. La nota se adjudicará en base a la distribucción que determine el comité de coordinación del curso.



XI. Bosquejo de Contenido:


A. Límites y Continuidad


1. Repaso del concepto de función y de la notación correspondiente


2. Lectura de gráficas de funciones algebraicas y trascendentales sencillas


3. Concepto intuitivo de límite y notación correspondiente


4. Reglas para calcular límites


5. Límites unilaterales


6. Continuidad


B. La Derivada


1. Pendiente de una curva


2. Derivada de una función


3. Cálculo de derivada usando la definición

4. Fórmulas para suma, producto y cociente


5. Diferenciación en cadena: potencias


6. Derivadas de funciones implícitas


7. Derivadas de orden superior


8. Derivadas de funciones trigonométricas


9. Funciones exponenciales logarítmicas y diferenciación logarítmica. Problemas de crecimiento y decaimiento


10. Máximos y mínimos relativos; puntos de inflexión


11. Trazado de curvas: interceptos, asíntotas, máximos, mínimos, inflexiones


12. Teorema de Valor Intermedio


13. Teorema de Rolle


14. Teorema de Valor Medio


C. Aplicaciones de la Derivada

1. Aplicaciones de máximos y mínimos


2. Tasas o razones relacionadas


3. La diferencial


D. La Integral


1. Antiderivadas, integrales indefinidas


2. Integración de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas


3. Area bajo una curva


4. La integral definida


5. Teorema Fundamental del Cálculo


6. Área entre dos curvas


7. Integración numérica: Métodos de Trapecio y Simpson



XII. Bibliografía

Finney, Ross L. & Thomas, George B. Jr.; Cálculo y Geometría Analítica; Addison Wesley- Iberoamericana, 6ta. ed. en español, 1987.

Hunt, Richard A; Calculus with Analytic Geometry; Harper & Row, Publishers, 1988.


Edwards, C. H. Jr. & Penney, David E; Cálculo y Geometría Analítica; Prentice Hall- Hispanoamericana, 2da. ed. en español,1987.

Thomas, George B.; Finney, Ross L.; Calculus and Analytic Geometry; Addison-Wesley Publishing, 1992.


Varberg, Dale & Purcell, Edwin; Cálculo y Geometría Analítica, Prentice Hall, 6ta. ed. en español, 1993.





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