UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
HUMACAO, PUERTO RICO 00791

PRONTUARIO DE MATE 4061

  1. Nombre del Curso: Análisis Numérico Introductorio

  2. Codificación: MAIE 4061

  3. Pre-requisitos o Co-requisitos: Mate 3061 y Mate 3062, Mate 3039 ó Mate 3009, Co-requisito: Mate 4031

  4. Número de créditos para el estudiante / Número de créditos equivalentes para el profesor: 3 / 3

  5. Laboratorio: No tiene laboratorio.

  6. Justificación: Los modélos matemáticos se utilizan comunmente para describir problemas cientificos y sociales suceptibles a este tipo de análisis. Usualmente por la complejidad de estos modélos no es posible determinar las soluciones exactas del problema en cuestión. La simulación por computadoras de estos modélos es por consiguiente de suma importancia ya que permite el cálculo de soluciones aproximadas del modélo. Este curso le proveé al estudiante una introducción a las técnicas numéricas básicas utilizadas en la solución y simulación por computadoras de problemas científicos.

  7. Descripción General: Representación numérica en el computador. Análisis de errores. Soluciones de ecuaciones no-lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Interpolación y aproximaciones. Diferenciación e integración numérica. El problema de los valores característicos. Métodos variacionales.

  8. Objetivos Generales: Al finalizar el curso, el estudiante:

    1. conocerá una amplia gama de tópicos en los cuales se pueden aplicar los conocimientos adquiridos;
    2. podrá analìzar la eficiencia de un algorítmo para la solución de un problema mediante el análisis de todas las posibles fuentes de error que puedan afectar los resultados;
    3. podrá programar o emplear eficientemente, programas ó subrutinas previamante elaboradas para solucionar un problema específico;
    4. desarrollará un proyecto de interés particular.

  9. Objetivos Específicos:

    1. El estudiante conocerá como se representan los números en la computadora y los efectos de la truncación o redondeo en los computos numéricos al evaluar funciones y sumatorias.
    2. El estudinate podrá describir en forma algorítmica los métodos directos e iterativos para la solución de sistemas lineales y sus conteos operacionales. Conocerá sobre las relación entre el número de condición y el acondicionamiento del sistema.
    3. Aprenderá sobre los métodos de la bisección, secante y Newton, en particular sus propiedades de convergencia y como estas se afectan al calcular raices multiples.
    4. Utilizará el Teorema de Taylor para aproximar funciones con polinomios de Taylor junto con la fórmula del error.
    5. Conocerá los algorítmos básicos de interpolación de polinomios y la fórmula del error.
    6. Podrá analizar un conjunto de datos usando las técnicas de cuadrados minimos seleccionando el tipo de función más apropiado para describir los datos.
    7. 7. Conocerá las técnicas básicas de diferenciación e integración numérica junto con sus análisis de errores para funciones de una variable.
    8. Aprenderá sobre el computo numérico de valores propios en particular el método de potencias y el análisis de error.
    9. Aprenderá las técnicas básicas para la solución de problemas de valor inicial como el método de Euler y los métodos Runge-Kutta .
    10. El estudiante aprenderá a implementar o utilizar programas comerciales dodne se utilicen las técnicas numéricas aprendidas en el curso.

  10. Criterios de Evaluación: Se incluira en la evaluación, al menos tres examenes (60%), asignaciones (20%), y proyectos de programación (20%).

  11. Bosquejo de Contenido:

    1. Aritmética de punto flotante
      1. Conceptos básicos.
      2. Representación en la computadora.
      3. Aritmética finita y análisis de errores.
    2. Análisis y fuentes de error
      1. Error absoluto y relativo.
      2. Propagación de errores en la evaluación de funciones y sumatorias.
    3. Sistemas de Ecuaciones Lineales
      1. Método de eliminación Gaussiana y la factorización LU.
      2. Pivoteo parcial y total.
      3. Numeros de condición y ejemplos de problemas mal acondicionados.
      4. Mejoramiento iterativo y su implementación.
      5. Métodos iterativos de Gauss-Jacobi y Gauss-Seidel.
    4. Solución de ecuaciones no-lineales
      1. Descripción y análisis de convergencia de los métodos de la bisección, de Newton, y de la Secante.
      2. Iteraciones de punto fijo.
      3. Raíces multiples.
      4. Raíces de polinomìos.
    5. Interpolación y aproximación de funciones
      1. Interpolación con polinomios: representaciones de Lagrange y de Newton por medio de diferencias divididas.
      2. El problema de cuadrados minimos.
      3. Aproximación de funciones por polinomios de Chebychev.
    6. Diferenciación e integración numérica
      1. Diferenciación numerica usando polinomios de interpolación y el análisis de errores.
      2. Integración Numérica: reglas del rectángulo, del punto medio, del trapezoide, y análisis de errores.
      3. Formulas de cuadratura Gaussiana.
      4. Integración de Romberg.
    7. El problema de los valores característicos
      1. Enunciado del problema.
      2. Método de potencias y su análisis de error.
      3. Método de Muller o de la Secante para hallar los ceros del polinomio característico.
    8. Solución Numérica de Problemas de Valor Inicial
      1. Método de Euler y su análisis de convergencia.
      2. Métodos Runge-Kutta de orden dos y el clásico de orden cuatro.
      3. Sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones de orden mayor de uno.
      4. Regiones de estabilidad absoluta.
      5. Estimación y control del error local y global.

  12. Bibliografía:

    1. Atkinson, K., Elementary Numerical Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993.
    2. Burden, R. and Faires, J., Numerical Analysis, 4th ed., Prindle, Weber, and Schmidt, Boston, 1989.
    3. Conte, S., and deBoor, C., Elementary Numerical Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1980.
    4. Dongarra, J., Bunch, J., Moler, C., and Stewart, G., LINPACK User's Guide, SIAM, Philadelphia, 1979.
    5. Forsythe, G., Malcolm, M., and Moler, C., Computer Methods for Mathematical Computations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1977.
    6. Lindfield, G. and Penny, J., Numerical Methods using MATLAB, Prentice-Hall, New York, 1995.
    7. Rheinboldt, W., Methods for Solving Systems of Nonlinear Equations, SIAM, Philadelphia, 1974.
    8. Stewart, G., Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, Philadelphia, 1996.
    9. Van Loan, C., Introduction to Scientific Computing: A Matrix-Vector Approach Using MATLAB, Prentice-Hall, New York, 1997.

  13. Impacto Presupuestario: Este curso conlleva una carga académica de tres creditos para el profesor y se estima un minimo de 100 horas-estudiante por semana de uso del laboratorio de microcomputadoras.

  14. Apéndices: Ninguno