Asignacion siguiente

1.El producto de dos números complejos     z = a + bi     y     w = c+di     se define como
z ·w = (ac-bd)+(ad+bc)i. Se puede verificar que con esta multiplicación los complejos no nulos, C-{0}, forman un grupo con identidad 1 = 1+0i. El conjugado de un n'umero complejo z = a+bi es [`z] = a-bi y tiene propiedades muy útiles para hacer cálculos.

a)Pruebe que si z = a+bi entonces z ·[`z] = a² +b². Este es un número real puro, es decir, carece de parte imaginaria. Deduzca de aquí la forma que tiene el inverso multiplicativo z^-1 de un número complejo.

b)El módulo o valor absoluto de un complejo se define como | z | = Ö{z ·[`z]} = [Ö(a² +b²)]. Al representar un complejo z = a + bi como el punto (a,b) del plano cartesiano, se entiende el módulo como distancia positiva al origen. Pruebe que el conjunto U de los números complejos de módulo igual a 1 es un subgrupo de C-{0} y haga una representación gráfica de U en el plano cartesiano.

c)Desde el grupo aditivo de los números reales (R,+) se define el mapa cis : R ® C-{0} como

 

Pruebe que cis es un homomorfismo.

d)Halle Ker(cis) e identifíquelo con algo conocido.

e)Pruebe que R/Z es isomorfo a U

 

2.(CCE3) Un cierto sistema de comunicaciones tiene capacidad de manejar mensajes representados por vectores de cuatro dígitos binarios [`x] = (b<sub>1</sub>b<sub>2</sub>b<sub>3</sub>b<sub>4</sub>). Cada vez que se ha de enviar un mensaje éste se codifica mediante la función g([`x]) = [`x]·G usando la matriz G del problema CCE1 de la asignación No.4. El mensaje que se envía, [`y] = g([`x]) es una sucesión (código) de 7 dígitos binarios. Los cuatro primeros dígitos son el mensaje mismo y los últimos tres se llaman de redundancia y son ligaduras algebraicas para recuperar el mensaje en caso de adulteración. Por la imperfección del canal de transmisión, el código enviado es suceptible de corrupción que consiste en la posible alteración (error) de un dígito: un 1 cambia en 0 ó al revés. En este problema supondremos que la probabilidad de que se produzca un error es razonable, pero la de dos errores es remota, es decir, el canal no es tan malo. La redundancia permite detectar si hubo error en la transmisión y también corregirlo.

a)Recuerde que H = g(B³), la imagen de g, es un subgrupo de B⁷. Pruebe que si al enviar un mensaje [`y] = g([`x]) a través del canal descrito, éste sufre la alteración de uno o dos dígitos, el vector recibido [`z] ya no pertenece a H.

b)Si al trasmitir un vector [`y] Î H éste sufre un error en el dígito de posición i, el vector recibido es igual a [`z]: = [`y]Å[`e]_i, donde [`e]<sub>i</sub> es el vector de peso 1 cuya única componente no nula está en la posición i. Pruebe que el vector recibido [`z] y el vector de error [`e]_i pertenecen al mismo H-coset.

c)Pruebe que dos vectores de error [`e]<sub>i</sub> y [`e]_j no pueden pertenecer al mismo H-coset y que cada H-coset tiene un unico vector de error. Este vector se llama líder del coset y es el de menor peso.

d)(Decodificación por cosets) Pruebe que si un vector [`y] es alterado a un vector [`z] por un solo dígito, la posición del error se halla identificando el líder del coset de [`z]. Como el líder delata la posición de su 1, es en esta posición donde está el error.

e)Construya el conjunto de H-cosets, escribiendo el elemento lider a la cabeza de cada lista. Entonces sea [`z] = 1100100 un vector recibido en lugar del enviado vector [`y]. Determine el coset al que [`z] pertenece, identifique al líder, corrija el error e identifique [`y].

[fin de asignacion]

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