¿Qué es la Matemática? Es muy difícil saber matemática y a la vez evitar cierto platonismo aunque sea de "closet". El matemático Gian Carlo Rota ha dicho que ellas tienen una doble vida. En una de esas vidas las matemáticas manejan (o dan la impresión de que manejan) datos como cualquier otra ciencia: las alturas de un triángulo se intersecan en un solo punto, así como las medianas y las mediatrices y esos puntos son colineales; los polinomios de grado 2 tienen a lo más dos raíces; existen solo 5 sólidos regulares; todo número entero tiene una factorización única en números primos; la diagonal de un cuadrado no es conmensurable con sus lados. Todos esos (y muchos mas) son datos y se descubrieron por métodos bien similares a cómo se descubren los datos de las otras ciencias. En su segunda vida, según Rota, las matemáticas manejan demostraciones. Sin embargo, lo que es considerado una demostración matemática valida ha variado con el tiempo, inclusive dentro de la tradición occidental y la manera actual es un canon entre otros posibles. En la tradición de que somos herederos los datos (o hechos) matemáticos se presentan por el método axiomático, pero, insisto con Rota, "...one must guard, however, against confusing the presentation of mathematics with the content of mathematics...". La apariencia de que las matemáticas progresan haciendo definiciones precisas y luego deduciendo teoremas de ellas es ilusoria y falaz. Cuando uno investiga en matemáticas procede como en cualquier otra investigación: haciendo cómputos, generando casos especiales y buscando patrones generales, clasificando datos, razonando por analogía y usando sentidos figurados etc. Las exposiciones y libros de textos matemáticos son altamente engañosos. "Mathematicians take mischievous pleasure in faking the arbitrariness of denitions. In fact, no mathematical denition is arbitrary. The theorems of mathematics motivate the denitions as much as the denitions motivate the theorems" .

La universalidad de las matemáticas. En el segundo capitulo de su libro, Lizcano estudia como los imaginarios sociales, cosmovisiones y modos de racionalidad china les permitieron a los matemáticos de esa cultura desarrollar formas matemáticas de negatividad numérica mucho antes que en las tradiciones matemáticas occidentales que partieron de los respectivas racionalidades asociadas a la Grecia clásica. Lizcano se pregunta e intenta contestar por que los excelentes matemáticos de la Grecia clásica no pudieron ni siquiera ver la posibilidad de formalizar matemáticamente conceptos numéricos de negatividad y cero, mientras que los chinos en una obra conocida como Los Nueve Capítulos del Arte Matemático (Jiu Zhang Suansh) construyeron formas de negatividad llamadas zheng/fu/wu. Mientras que, por su parte, las matemáticas occidentales no elaboraron formas consecuentes de negatividad hasta mediados del siglo 17 DC en la obra de John Wallis. Los Nueve Capítulos contienen, en su capitulo octavo, métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales representando los cocientes de las incógnitas con varillas de madera dispuestas en un tablero de cómputos y luego operando con ellas de manera prácticamente igual a lo que hoy se denomina el método de Gauss (S. 19).

Lizcano llama la atención sobre las grandes diferencias semánticas entre la negatividad expresada en Los Nueve Capítulos, desarrollada como subproducto de las cosmovisiones chinas basadas en la dinámica de los contrarios del tipo ying/yang, y la desarrollada en Europa a partir de modelos de pérdida y ganancia. Dice que ambas formas de negatividad son irreducibles entre sí y que por lo tanto la matemática china no debe ser evaluada teleológicamente como anticipación de las ideas occidentales.

Sin embargo, salta a la vista cierta universalidad que Lizcano no menciona. Me refiero al isomorfismo:

f(# zheng) = positivo ; f(# fu) = negativo ; f(# wu) = cero

como estructura de anillo.

Aquí estamos en presencia de cierta universalidad sintáctica que Lizcano, tan preocupado como está por lo irreduciblemente distinto, pasa por alto. Esa ceguera a identidades sintácticas entre diversos quehaceres matemáticos está presente también en los otros capítulos del libro de Lizcano donde además de estudios sobre conceptos numéricos aborda temas de geómetra.

Esas omisiones son importantes porque como el mismo Lizcano señala

Otro ejemplo de universalidad dentro de lo relativo: No todos los pueblos desarrollaron sus respectivos sistemas numéricos a partir de la agregación sucesiva de unidades en la forma 1; 1 + 1; ; 1 + 1 + 1; , lo que tiene el germen del apareamiento de lo cardinal con lo ordinal en una sola sucesión numérica. Cassirer, en su obra en tres volúmenes titulada Filosofa de las Formas Simbólicas, hace un catálogo extenso, aunque no exhaustivo, de como en distintos idiomas (culturas) se van dando las construcciones que devienen en números. Lizcano cita este trabajo y destaca que ese catalogo de Cassirer nos revela, según la descripción de Lizcano, una "Babel matemática fascinante": series numéricas diferentes de acuerdo al verbo usado para contar o a lo que se este contando; números cardinales colectivos no formados por agregación de unidades y que permiten en ciertos contextos comparar cardinales distintos sin poder contar uno a uno; y muchas otras para las que los refiero a las obras citadas. Los yorubas parten de números colectivos 14 y llegan a los otros por sustracciones y adiciones sucesivas. Pero, hasta donde he podido investigar, sobre esto no hay mucho escrito, todos las aritméticas desarrolladas, a un cuando parten de semánticas distintas, son (sintácticamente) isomorfas.

La aplicabilidad de las matemáticas. Los conceptos matemáticos aparecen de forma imprevista y sorprendente en contextos muy distintos y lejanos a los contextos en que surgieron y se definieron originalmente. Esto puede considerarse como otra forma de universalidad.

Algunos ejemplos importantes son:

1. Los números imaginarios surgieron en contextos estrictamente algebraicos gracias a la obra de Cardando, Bombelli y otros algebristas italianos durante el siglo 16 y dieron paso en el siglo 18 a los llamados números complejos y más tarde a la extensión de la teoría del cálculo a funciones definidas en los complejos. Esas funciones y los números complejos son indispensables en la mecánica cuántica, en teoría de circuitos eléctricos y en muchas otras áreas de aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas, inclusive en problemas de números enteros.
2. La identidad de Euler que nos permite, gracias a la dentición de la función exponencial e z como serie de potencias, relacionar en una s ola identidad los cinco números más importantes de las matemáticas ("elementales"): eⁱ + 1 = 0. Esa identidad, aparte de ser hermosa, es impresionante. Cada uno de los números que aparecen en ella surgió originalmente en contextos bien distintos.
3. Las funciones trigonométricas surgieron originalmente en contextos geométricos y luego son las autofunciones del operador de traslación y además juegan un rol indispensable en la descripción de movimientos periódicos, entre otras cosas (claro que en el proceso sus definiciones fueron extendidas).
4. El teorema de los números primos: Si n representa un número entero positivo, sea P(n) igual a la cantidad de números primos entre 1 y n (inclusive). Noten que la expresión P(n)=n es una medida de la densidad de primeros en el conjunto f 1; 2; 3; : : : g . Gauss conjeturo en 1792, a la edad de quince a~ nos, que para n grande P(n)=n es asintoticamente igual a 1= ln n . O sea que 17
5. La demostración de Wiles del último teorema de Fermat usa funciones elípticas que se desarrollaron en el contexto de los estudios matemáticos sobre los movimientos de los planetas.
6. Un inmenso ETC.

Eugene Wigner en su famoso articulo The Unreasonable Eectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, publicado en 1960, dice:

En una cantidad enorme de ocasiones, deducciones puramente matemáticas han llevado a conclusiones que preceden y anticipan resultados experimentales que, en su momento, hasta han llegado a estar contradicción con creencias en boga, pero que luego son verificadas experimentalmente.

El matemático - físico ingles Maxwell cuando estaba buscando ecuaciones 19 que pudieran describir las interacciones y la dinámica de los campos eléctricos y magnéticos introdujo un término en las ecuaciones por criterios estrictamente de simetría matemática. Las ecuaciones que resultaron con ese término añadido predecían la existencia de ciertas ondas electromagnéticas que nunca habían sido observadas. Eso se consideraba una debilidad de la teoría hasta que Hertz observó las ondas de radio en 1885, 20 años después.

Newton postuló una ley gravitacional que en sus tiempos solo podía ser verificada a un 4% de precisión y que ahora sabemos que es precisa a menos de diez milésimas de un porciento. Cuando uno analiza con cuidado las suposiciones matemáticas de esa ley se da cuenta que si suponemos que vivimos en un espacio euclidiano de tres dimensiones y postulamos algo parecido a conservación de energía, entonces una fuerza central que sea simétrica TIENE que decaer inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro. Las desviaciones experimentales del exponente 2 nos indicaran cuan buena es la aproximación de que vivimos en un espacio euclídeo.

Otro ejemplo históricamente importante y completamente sorprendente es la mecánica matricial iniciada por Heisenberg en 1925 y desarrollada por él, Max Born, Pascual Jordan y luego Pauli. Heisenberg, como todos los físcos teóricos ocupados, en esos años, de los problemas planteados por el modelo atómico, estaba haciendo teoría por razonamientos figurados tratando de generalizar conceptos de física clásica. Para poder describir y derivar matemáticamente las líneas de emisión y absorción de los espectros atómicos sustituyo las coordenadas de posición y las de momentum por ciertos tableros de números para los cuales estableció ciertas reglas algebraicas de suma y de multiplicación, donde esta última no era conmutativa. De esa manera llegó a ecuaciones de movimiento que no sólo describan lo que ya se sabía y que el de manera ad hoc haba puesto en las formulas, sino que además daban información nueva. Cuando Heisenberg le mostró sus resultados a Max Born, este se dio cuenta que los objetos matemáticos que Heisenberg haba estado definiendo ya eran objeto de estudio matemático desde los 1840's en trabajos iniciados por Cayley y continuados por otros matemáticos y que son parte de los orígenes históricos de lo que hoy se llama el álgebra abstracta. Los tableros numéricos que Heisenberg utilizó para redefinir las variables de posición y de momentum para ajustarlas a las exigencias teóricas y experimentales del estudio de los átomos eran ejemplos de matrices y en su contexto original se inventaron para trabajar con sistemas lineales de ecuaciones.

Conclusiones. Esos ejemplos apuntan, desde mi punto de vista, a una autonomía relativa entre sintaxis y semántica 22 en las matemáticas que no ha sido tratada adecuadamente. También ilustran la sorprendente aplicabilidad de las matemáticas. Los conceptos matemáticos aparentan ser de una polisemia intrínseca que hace muy difícil su reducción a meros constructos discursivos y a discriminar sus determinaciones histórico - sociales. No en balde le sacan el cuerpo los que analizan las ciencias sin estudiarlas.